Painel 9 - Conjuntos e subconjuntos em Q

Vamos pensar numa pizza ou numa sequência de dois números 5 e 6, por exemplo. Os números racionais são os que podem ser escritos como quociente de dois inteiros, dos quais o divisor não é nulo. Então 5 + 6 = 11/2 = 5,5 ou 5 1/2.

Assim: uma porção, uma fatia, um pedaço é uma parte de um todo.  Portanto, uma fração.  Aí temos a percepção de número racional.

Tópico 1 - Pensando os números racionais

 

Introdução: os números racionais

 

Os números racionais representam uma ampliação do conjunto de números naturais e inteiros, na medida em que incluem as frações, em suas duas formas:

a)      Forma decimal.

b)      Forma fracionária.

Vamos pensar as frações

Temos um todo, um inteiro dividido inicialmente em 4 partes. Dividimos depois em 8 partes e, em seguida em 16 partes. São frações iguais, pois indicam a mesma quantidade.

Você sabe que podemos representar as quantidades numa reta. Basta temos uma unidade estabelecida por nós e repetirmos esta unidade n vezes.

Se eu partir de um ponto zero, referência, para direita posso estabelecer que o sentido é positivo (números ou quantidades positivas). Para a esquerda, sentido negativo (números e quantidades negativas).

Vamos rever nossos conceitos?

E entre um número e outro (positivo ou negativo) temos uma quantidade parcializada? Uma quantidade inteira (positiva ou negativa ) + uma pequena parte da unidade?

Algumas conclusões

Podemos concluir que temos números racionais positivos ou negativos:

  • 1,5 = - 3/2

  • 15/3 = 3

  • 3/4 = 0.75

  • 1/3 = 0,333....

  • -4/3 = - 1, 333...

 

Desta forma, podemos concluir que podemos ter os seguintes números racionais:

 

  • Inteiros positivos;

  • Inteiros negativos;

  • Representação decimal positiva ou negativa;

  • Representação fracionária positiva ou negativa;

  • Representação decimal periódica.

 

Tome como exemplo: 4 + 2 = 6 ou 4/1 + 2/1 = 6/1 = 6

 

6/2 = 3 ou 3/1* observe que 3/1 é a representação fracionária de um número decimal.  portanto, os números inteiros (aqueles que podem ser positivos ou negativos também são números racionais).

 

Observe 3 + 4 = 7 ou

              3/1 + 4/1 = 7/1

 

7/2 = 3,5 ou 3 1/2

        

Representação decimal e representação fracionária.

 

Tópico 2 - Notação, condições de existência e definição matemática dos números racionais

  1. Definição - Conjunto dos números racionais

 

> Notação e as condições de existência do conjunto de números racionais - são as seguintes:

 

Q = { x | x = p/q, p, qЄZ, q0}

 

> Podemos ler esta notação e condição de existência do seguinte modo:

 

 

O conjunto de números racionais é igual aos números x tal que x tem a forma da fração p/q, sabendo-se que p e q pertencem ao conjunto de números inteiros e q é diferente de zero.”

Tópico 3 - Vamos recordar números decimais e frações decimais?

  1. Transformação da forma fracionária em decimal.

 

Sabemos que os números racionais podem se apresentar em forma fracionária ou decimal e que ambas podem ser representações equivalentes de um mesmo número.

 

Para transformarmos um número fracionário num número decimal, basta dividirmos o numerador da fração pelo denominador:

 

20/4 = 5 Podemos obter um número inteiro positivo ou negativo;

 

15/8 = 1,875 Podemos ober um número decimal...

 

3/4= 0,75

 

27/4 = 6,75

 

 

28/7 = 3,285714285714285714... = 3,285714... Ou uma dízima!

Vamos observar os números racionais representados por dízimas periódicas simples e compostas.

O conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros que, por sua vez, está contido no conjunto de números racionais.

Assim...

  1. Dízimas periódicas simples e compostas

 

Dízima periódica simples – 28/7 = 3,285714285714285714... = 3,285714...

em que 3 é a parte inteira e 285714 é o período.

 

 

Dízima periódica composta - 13/6 = 2,1666...em que 2 é a parte inteira, a parte não periódica é 1 e 6 é o período.

 

A partir destas divisões podemos concluir que: N Z Q

 

(O conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros que, por sua vez, está contido no conjunto de números racionais.)

Aprofundando o estudo de dízimas periódicas, leiam e façam os exercícios.

LEMBRANDO...