Painel 7 - Multiplicação e Divisão em Z

Se os dois fatores tiverem sinais iguais, o resultado será sempre positivo.

Se os dois fatores tiverem sinais diferentes o resultado será sempre negativo.

Tópico 1 - Multiplicação de números inteiros

Multiplicação de números inteiros

 

  • Sabemos que a multiplicação é uma soma de parcelas iguais:

4 . 3 = 3 + 3 +3 +3 = 12

 

  • Sabemos utilizar numa expressão a correlação entre sinais, de tal forma que:

    • (+3) = -3;

    • ( - 3 ) = + 3

  • Sabemos que quando um número é precedido do sinal positivo, não precisamos escrevê-lo no início de uma expressão: +3 –5 +6 = 3 – 5 +6

 

  • Sabemos que os números inteiros podem ter sinal positivo ou negativo.

 

Assim, ao efetuarmos uma multiplicação de inteiros, resolvemos em primeiro lugar seu sinal e, em seguida, multiplicamos os números colocando o sinal resultante na operação. 

Observe:

Se os dois fatores tiverem sinais iguais, o resultado será sempre positivo.

Se os dois fatores tiverem sinais diferentes o resultado será sempre negativo.

 

Sinal

Sinal

Resultado

 

+

+

+

(+3)(+5) = 15

-

-

+

(-3) (-5) = 15

+

-

-

(+3) (-5) = -15

-

+

-

(-3) (+5) = -15

 

 

Regras para determinação do sinal quando tivermos mais de dois fatores:

 

Considerando um produto de números inteiros não-nulos, temos:

  • O produto será positivo quando o número de fatores negativos for par.

  • O produto será negativo quando o número de fatores negativos for ímpar.

 

Exemplos:

 

  • (+3) (-2) (-4) = 24 , pois o produto será positivo quando o número de fatores negativos for par.

  • (+3) (-2) (+4) = - 24 , pois o produto será negativo quando o número de fatores negativos for ímpar.

Recordando...

Notação para multiplicação

 

Temos duas notações básicas para multiplicação:

  1. 3 x 5 = 15

  2. 3.5 = 15

 

Quando temos números ou expressões entre parênteses, uma ao lado da outra, isto indica multiplicação:

 

(3 + 2 – 1) (5 – 3 ) = (4) (2) = 8

Sempre fazendo exercícios...

Exercício 1

Determine os sinais e resolva os exercícios:

  1. (+) (+) (-)

  2. (-) (-) (+)

  3. (+34) ( -x)

  4. (- x) (-y)

 

Resposta:

 

  1. (-)

  2. (+)

  3. 34x

  4. xy

Mais exercícios...Estes são especiais, você vai quebrar a cuca...

Exercício 2

01 Efetuando-se 20802 - 10192 obtém-se um número compreendido entre 

 

A) 500 e 1000 

B) 1000 e 3000 
C) 3000 e 6000 
D) 6000 e 10000 
E) 10000 e 20000 

02 Uma pessoa, ao efetuar a multiplicação de um número inteiro x por 296, achou o produto 39960. Ao conferir o resultado percebeu que havia se enganado, trocando em x as posições do algarismo das unidades com o das dezenas. Nessas condições, o produto correto deveria ser 

 

A) 42828 

B) 43136 
C) 43248 
D) 45126 
E) 45288 

03 No almoxarifado de certa empresa há uma pilha de folhas de papel, todas com 0,25mm de espessura. Se a altura da pilha é de 1,80m, o número de folhas empilhadas é 


A) 72 
B) 450 
C) 720 
D) 4500 
E) 7200 

04 Em uma empresa, o atendimento ao público é feito por 45 funcionários que se revezam, mantendo a relação de 3 homens para 2 mulheres. É correto afirmar que, nessa empresa, dão atendimento 

 

A) 18 homens. 

B) 16 mulheres. 
C) 25 homens. 
D) 18 mulheres. 
E) 32 homens. 

05 Os salários de dois técnicos judiciários, X e Y, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o dobro do salário de X menos a metade do salário de Y corresponde a R$ 720,00, então os salários dos dois totalizam 

A) R$ 1200,00 
B) R$ 1260,00 
C) R$ 1300,00 
D) R$ 1360,00 
E) R$ 1400,00 

 

Fonte:

http://soldosana.blogspot.com.br/2012/03/simulado-matematica-75-questoes-com.html

 

Gabarito:

 01-E | 02-E | 03-E | 04-D | 05-B

Tópico 2 - Propriedades da Multiplicação dos Números Inteiros

Propriedades da multiplicação

 

O conjunto de números inteiros apresenta as seguintes propriedades estruturais quanto à multiplicação.

> Comutativa;

> Elemento neutro;

> Associativa;

> Distributiva.

 

Vamos analisar uma a uma.

 

Propriedade comutativa da multiplicação

 

a . b – b. a

 

2.5 = 5.2 = 10

 

A ordem dos fatores não altera o produto.

 

 

Existência do elemento neutro

 

Na multiplicação, o elemento neutro é o número 1. Qualquer número inteiro multiplicado pela unidade é igual ao próprio número. Assim:

 

є Z | a . 1 = a

 

 

 

3. 1 = 3

(-5). 1 = -5

 

 

Propriedade associativa da multiplicação

 

Numa multiplicação de mais de dois números inteiros quaisquer, podemos associa-los de modos diferentes sem que isto afete o resultado da multiplicação.

 

 

a, b, c є Z | a .(b. c) = (a .b) .c = (a . c) . b

 

 

Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica.

 

 

O produto de um número inteiro por uma soma algébrica pode ser obtido multiplicando-se o número inteiro pelos termos da soma e efetuando-se ao final a soma algébrica dos produtos parciais.

 

x, a, b, c є Z | x ( a + b – c) = xa + xb - xc

 

 

 

Exemplo:

x ( 3 + 4 – 2) = 3x + 4x – 2x = 7x – 2x = 5x

Acompanhe a feitura do exercício abaixo!

Exercício 3

 

Resolva a expressão

 

8 {3x – [48 – 5 + (2 – 6 + x)3] – 5 - 44}

 

 

Observem o método para resolver a expressão:

Comecemos de dentro para fora, resolvendo os parênteses.

8 {3x – [48 – 5 + (-4 + x)3] – 5 - 44}

Vamos estabelecer a multiplicação interna:

8 {3x – [48 – 5 + (-12 + 3x)3] – 5 - 44}

Vamos abrir os parênteses:

8 {3x – [48 – 5 -12 + 3x] – 5 - 44}

Abrindo os colchetes e trocando os sinais, temos:

8 {3x – 48 + 5 +12 - 3x – 5 - 44}

Multiplicando 8 pelo interior da chave, temos:

24x – 384 + 40 + 96 – 24x – 40 – 352

Eliminando 24x positivo com 24x negativo, temos

- 384 + 40 + 96– 40 – 352

Resolvendo a expressão, temos:

 

Parcelas positivas

(+)

Parcelas negativas ( - )

40

384

96

40

 

352

 

 

Resultado positivo

Resultado negativo

+ 136

- 776

 

136 – 776 = 640

 

Divisão de números inteiros

A divisão é a operação inversa da multiplicação:

(+15): (+3) = 5, pois (+5) . (+3) = (+15)

(-16) : (+4) = -4, pois (-4) . (+4) = (-16)

(-32) : (-8) = 4, pois(+ 4) . ( -8) = (-32)

(+8) : ( - 4) = (-2), pois (-2) . (-4) = (+8)

 

Podemos observar a regra dos sinais que já conhecemos:

 

Sinal

Sinal

Resultado

+

+

+

-

+

-

-

-

+

+

-

-

 

Resumindo:

Numa operação de divisão, entre dois números inteiros não-nulos o quociente será:

positivo – se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal;

negativo – se o dividendo e o divisor tiverem sinais contrários.

Exercício 4 - Modelo Resolvido

46 : (5 – 3) + { 39: (-13) [ (-12 + 4 –2) : (-6 +1) ]}

 

Resolução:

Resolvendo os parênteses de dentro para fora:

46 : 2 + { 39: (-13) [( -10) : (-5) ]} =

Resolvendo o interior do colchete:

46 : 2 + { 39: (-13) [ 2] } =

Resolvendo as chaves e efetuando a soma:

23 + { 3 [ 2] } =

23+ 6 = 29

Tópico 3 - Potenciação de números inteiros

Potência de um número inteiro de expoente natural

Um número inteiro poderá ser positivo ou negativo. Vamos analisar como se dará a potenciação com números inteiros.

Vamos tomar a notação e analisá-la. Temos a base, um número inteiro positivo ou negativo qualquer, exemplificando o 2 ou a representação algébrica deste número, uma letra, por exemplo o "a".

 

   Expoente

23       an

    base

 

Devemos observar que a representação algébrica de "a" como uma potência elevada ao expoente "n" pode ser assim expressada em termos de Teoria dos Conjuntos..

a = número inteiro positivo ou negativo

n = número natural

Sabemos que:

an =>a pertence a Z (a pertence ao conjunto de números inteiros);

         n pertence a N (n pertence ao conjunto de números naturais).

Assim, an = an-1. a, V n, n ≥ 1 ("a" elevado ao expoente "n" é igual a "a" elevado a n - 1

vezes a). Exemplo:

23 = 22. 2 = 4. 2 = 8

 

-23 = (-22). (-2) = (+4).(- 2) = - 8

 

A partir da demonstração, temos que:

a0 = 1

a1 = a

a2 = a . a

a3 = a . a. a

a4 = a . a. a . a

etc.

Relembrar antigas histórias? E um joguinho? Clique na imagem.

Exercício 5 - Treine e confira suas respostas.

a) (–4)0

b) (+4)0

c) (-7)2

d) –(7)2

e) 151

f) 06

g) 53

h) an

 

Respostas:

a) (–4)0 = 1

b) (+4)`0 = 1

c) (-7)2 = (-7).(-7) = 49

d) –(7)2 = - (7.7) = -49

e) 151 = 15

f) 06 = 0.0.0.0.0.0 = 0

g) 53 = 5.5.5 = 125

h) an = a.a.a.a.a.a.a.a.a.a...a

    2

24 = 24 . 4 = 216

P.2 – Divisão de potências de mesma base.

Mantemos as bases e diminuímos os expoentes.

ax/ay = ax - y, sendo a 0

P.3 - ( a . b )x = ax . bx

P.4 - ( a/b )x = ax/bx, sendo b  0

P.5 - ( ax )y = ax . y

A partir destas propriedades, a grande maioria de problemas com potência é resolvida.

Exercício 6

  1. 34. 32

  2. 53. 55

  3. 23. 25. 210. 28

  4. (35)3

  5. [(3/4)3]3

           3

  1. 32

  2. 55/53

  3. (4/5)2

 

  1. 34+2 = 36

  2. 53+5 = 58

  3. 23+5+10+8 = 226

  4. 35. 35. 35 = 35+5+5= 315

  5. [(3/4)3. 3/4)3. (3/4)3] = (3/4)3+3+3 = 3/49

  3

  1. 32 = 32 . 2 .2 = 38

  2. 55-3 = 52

  3. (4/5) . (4/5) = 16/25

Tópico 4 - Raiz quadrada de números inteiros