Painel 5 - A reta dos números inteiros

Vamos ter como metas a análise e os exercícios das seguintes operações possíveis com números inteiros:

        - Adição de números inteiros;

        - Subtração de números inteiros;

        - Multiplicação de números inteiros;

        - Divisão de números inteiros;

        - Potenciação de números inteiros;

        - Expressão numérica com números inteiros;

        - Raiz Quadrada de números inteiros.

Tópico 1 - Definição e utilização prática: números inteiros

Sabemos que podemos representar os números inteiros numa reta numerada.  Você sabe que números correspondem às quantidades mais diversas: duas bananas, dois metros, duas galinhas, dois quilômetros, três graus abaixo de zero, dez metros abaixo do nível do mar, etc.

 

Teremos números positivos e negativos, mas nenhuma fração é admitida como número inteiro.  

 

Estas são as características mais básicas dos números inteiros.  Devemos perceber também que os números inteiros são uma ampliação dos números naturais.

 

Então: N C Z (Números naturais estão contidos nos números inteiros).

Recapitulando:

Ao analisarmos sua tipologia, partimos do conjunto dos números inteiros, Z:

O conjunto Z (Zalen = Número em alemão) dos Números Inteiros:

 

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

 

  • Números inteiros negativos = { ..., -5, -4, -3, -2, -1 } 
  • Números inteiros positivos = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
  • Números inteiros não negativos = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } (incluem o zero)
  • Números inteiros não positivos = {... -5, -4, -3, -2, -1, 0 } (incluem o zero)

Afinal, a discussão está em ser o zero número ou não.

 

Tópico 2 - A construção da reta dos números inteiros.

Como trabalhamos os conjuntos numéricos?

Você sabe também que podemos e devemos trabalhar com os números abstratamente.  Assim, podemos representar os números na reta numerada.

 

Tomemos uma reta.  Devemos estabelecer:

a)   Uma origem, o ponto zero (0);

b)   Um sentido positivo, em geral convenciona-se para a direita.  O sentido da reta para a esquerda corresponderia aos números negativos, possíveis no conjunto de números inteiros.

c)   Marcamos segmentos consecutivos e do mesmo tamanho na reta, tanto para a direita quanto para a esquerda.  Podemos estabelecer, aleatoriamente, um centímetro, por exemplo.

d)   Temos, portanto, a representação da reta dos números inteiros e, abaixo, o conjunto de números inteiros (Z).

 

 

Observem a reta dos números inteiros ou sua representação geométrica:

Números simétricos - Exercício 02

Dois números são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0

Vamos analisar os números inteiros como números simétricos. Exemplos:
-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0.
4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.

 

Responda:


O oposto de 5 é ______
O simétrico de 6 é _________.
O oposto de zero é _____________.

Dois números simétricos sempres têm o mesmo módulo.

Exemplo de notação: |-3| = 3 e |3| = 3 

Ver resposta em Gabarito Ex-Painel 5

Tópico 3 - Usando a reta dos números inteiros

b) Valor absoluto ou módulo de um número inteiro

 

É a distância entre a origem e o ponto cuja abscissa é o número na representação geométrica.

 

Assim:

 

  • ·         O valor absoluto ou módulo de - 5 é 5;
  • ·         O valor absoluto ou módulo de 5 é 5;
  • ·         O valor absoluto ou módulo de -7 é 7;
  • ·         O valor absoluto ou módulo de 7 é 7.

    

c) Os números inteiros permitem que façamos comparações entre duas situações ou realidades submetidas ao mesmo padrão de medida.  Suponhamos que estamos medindo a temperatura de algumas cidades em países diferentes:

 

 Medimos a temperatura de duas cidades:

>>>>>Salvador e Fortaleza e encontramos 30° C; (30 = 30).

>>>>>>Salvador e Manaus: em Salvador temos 30°C e em Manaus temos 35°C;

(35 > 30 - trinta e cinco maior que 30).

>>>>>>Salvador e New York: Salvador, 30°C e New York = - 5° C

(-5 < 30 , menos 5 é menor que 30).

 

Aqui, temos a noção de igual, maior e menor.

 

Vamos entender a usar números inteiros e a aplicar o gráfico cartesiano às figuras:

Aplique o que aprendeu ao usar o gráfico cartesiano.

Tópico 4 - Como trabalhamos com os sinais positivo e negativo dos números inteiros?

Vamos analisar os diversos casos, começando com a adição:

Vimos que podemos caminhar para a direita ou esquerda na reta dos números inteiros, comparando quantidades, a partir do referencial zero e tendo os sentidos positivo (para a direita) e negativo (para a esquerda) definidos.

 

Temos sempre de ter em mente o referencial zero e os sinais: 

> para direita => Positivo (+)

> para a esquerda => Negativo ( - ).

Adição

No caso dos números inteiros, são válidos os sinais positivos (+) e negativos (-). Ao somarmos estes números, temos de considerar os sinais e as quantidades. Vamos analisar os diversos casos:

 

1o. caso: números com sinal positivo.

 

Some A + B, ambos positivos, tendo por base a reta dos números inteiros.

 

...-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15...

                        A                    B

_____________________________________

 

Representação matemática:

 

 

(+2) + (+9) = + 11

 

Observe que você caminhou para a direita, somando os números de mesmo sinal positivo.

2o. caso : Adição de números com sinal negativo.

 

Vamos somar (-3) com (-7). Observe a reta dos números reais.

 

...- -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2...   

 

                                     B                  A

______________________________________

 

Representação matemática:

 

 

(-7) + (-3) = - 10

 

Observe que você caminhou para a esquerda, somando os números de mesmo sinal negativo.

Exercício 3

Desenhe uma reta dos números inteiros, no intervalo [-5;+5], tendo o ponto 0 como origem.

 

Efetue, usando a reta desenhada:

a) (-5) + (+4)

b) (+3) + (- 1)

c) (-2) + (-3) +(+5)

d) (+5) + (-1) + (-3)

 

 

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