Painel 4 - Inteiros - Definição, representação e utilização prática

O problema das contagens...negativas

Contar é uma atividade prática, necessária para uma comunidade.  Temos de saber o quanto temos em estoque de alimentos e o que falta no dia a dia.  

EXISTEM NÚMEROS NEGATIVOS?

Estoque e logística_CDWebB
Estoque e logística_CDWebB

Imagine um estoque de um armazém

Do mesmo modo que contamos o que adicionamos, somamos, podemos também contar o que retiramos de um estoque.

Evidentemente, podemos ver que:
    >  se adicionamos, nossa contagem é positiva - colocamos um sinal de +                 (mais) acrescido da quantidade (número) acrescido.
    >  e se retiramos algo de um estoque, nossa contagem é negativa.  

 

Como operamos matematicamente este controle de estoque:

>> Colocamos um sinal de – (menos) acrescido da quantidade retirada ou, em outras palavras, subtraímos o que foi retirado de uma quantidade que estava em estoque.

>> A partir daí, teremos o saldo em estoque.

Quer conhecer o trabalho de um estoquista? Clique nas imagens.

Este é um problema que acompanha o homem deste os tempos da Antiguidade: o crédito, quanto lucramos, e o débito, quanto devemos. Observe as imagens em diferentes culturas e épocas.

Tópico 2 - A ampliação do conjunto de números naturais em novos conjuntos.

Como vimos, existem determinadas situações no dia a dia em que temos necessidade de números negativos. Nesta situação, temos de ampliar o conceito de números naturais e acrescentar à reta onde representamos os números, o conjunto de números negativos.

Observe a reta real básica: a = origem, ponto zero; para a direita, números positivos e para aq esqueda, números negativos até o infinito.

BDWebB
BDWebB

Exemplos diversos:

  • de contabilidade de estoques;
  • de entrada e saída de dinheiro em caixa para os comerciantes, são exemplos práticos no dia a dia;
  • de uma conta corrente em banco;
  • Se pensarmos a temperatura, teremos temperaturas acima e abaixo de zero, ponto onde a água congela.

Conclusão:

É necessário marcarmos por sinais de + (mais) ou - (menos) as temperaturas, o crédito e o débito e muitas outras operações para indicarmos números negativos.

 

BDWebB
BDWebB

Representação geométrica e matemática dos números inteiros em sua reta

Constrói-se uma reta geométrica representativa do conjunto de números inteiros da seguinte maneira:

  • Estabelecemos uma reta direcionada para a direita.

  • Estabelecemos um ponto zero no meio da reta como ponto origem.

  • Estabelecemos uma distância entre zero e um na reta e as repetimos para direita e esquerda, nomeando os pontos com sinais positivos para direita (+1, +2, +3, etc) e negativos para a esquerda (-1, -2, -3, etc).

 

Números Inteiros - Observe a reta dos números inteiros.

Como representamos os números inteiros? Duas formas:

  • A outra forma de representar os números inteiros, como sabemos, é a seguinte:

 

Z = { ...n,...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...n,...}

Ligeirinho: quem está em velocidade positiva e negativa?_BDWebB
Ligeirinho: quem está em velocidade positiva e negativa?_BDWebB

> Ordenação e sucessão dos inteiros

 

> Sucessores

Observamos a reta, verificamos que cada número inteiro tem um sucessor imediato:

-3 é sucessor de -4

-2 é sucessor de –3

-1 é sucessor de –2

0 é sucessor de –1

1 é sucessor de 0...

 

 

Por esta observação estabelecemos o sentido da reta dos números no sentido crescente da esquerda para direita.

 

Sabe o que é um caleidoscópio? Aprenda a construir.

Observe esta animação e seu efeito geométrico_BDWebB
Observe esta animação e seu efeito geométrico_BDWebB

> Antecessores

Conseqüentemente, esta ordenação nos dá a percepção de que cada número inteiro terá um único antecessor.

-4 é antecessor de -3

-3 é antecessor de –2

-2 é antecessor de –1

-1 é antecessor de 0

0 é antecessor de 1

1 é antecessor de 2 e assim por diante.

 

Na ordenação estabelecida, como mostra geometricamente a reta, o sucessor é o número imediatamente à direita de um número considerado e o antecessor é o número imediatamente à esquerda do número considerado.

Tópico 3 - Diferentes conjuntos de números inteiros

Os números inteiros são uma ampliação dos números naturais. Os naturais incluem o zero e os números positivos. O conjunto de números inteiros irá incluir o conjunto de números negativos.

Número zero em paineis digitais_BDKEdit
Número zero em paineis digitais_BDKEdit

Números inteiros e sua notação

 

Observe os subconjuntos de números inteiros:

 

Z = { ...n,...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...n,...}

 

Todas as vezes que estabelecemos uma tipologia, classificamos elementos e subconjuntos destes elementos, temos de estabelecer um critério. No caso, dos números inteiros, o critério inicial de classificação será a presença do zero por sua especificidade: zero significa o nada, a nulidade.

 

A partir do conjunto básico de números inteiros, temos:

 

Conjunto de números inteiros diferentes de zero ou não-nulos

 

Z* = {...,-n,...,-3,-2, -1, 1, 2, 3, ..., n,..}

 

Critério - Observe que o critério será a especificidade do zero.

 

Que significa o zero? Zero significa o nada, a nulidade. Assim, retirando-se o zero temos os inteiros não-nulos.

...é realmente frio aqui!_BDWebB
...é realmente frio aqui!_BDWebB

Considerando ainda a especificidade do zero, que não é negativo ou positivo, podemos classificar os subconjuntos de números inteiros como:

  1. Não-negativos (incluindo o zero).

  2. Não-positivos (incluindo o zero).

 

Conjunto de números inteiros não-negativos

Z+= { 0,1,2,3,4,...}

 

 

Conjunto de números inteiros não-positivos

Z - = { ...,-3, -2, -1, 0}

 

 

...E se retirarmos o zero dos inteiros? Que subconjuntos teremos?

Lembre-se do Zorro ao trabalhar com números inteiros!_BDWebB
Lembre-se do Zorro ao trabalhar com números inteiros!_BDWebB

Retirando-se agora o zero dos inteiros não-negativos e não-positivos, temos:

 

Conjunto de números inteiros negativos

Z*- = {...,-3, -2, -1}

 

Conjunto de números inteiros positivos.

Z*+= { 1, 2, 3, 4,...}

 

Tópico 4 - Relação entre números naturais em inteiros.

 

Observe que a expansão de números naturais tem por objetivo ampliar a possibilidade operatória dos números. Ou seja: você vai poder fazer mais operações com os números disponíveis, considerando números positivos, negativos e outros conjuntos.

 

Analise como um algoritmo funciona: http://www.answers.com/topic/selection-sort
Analise como um algoritmo funciona: http://www.answers.com/topic/selection-sort

> Números naturais

Cada conjunto de números pressupõe algumas operações matemáticas.

N = {0, 1, 2, 3, 4,...n,...}

Números naturais pressupõem soma e multiplicação de números positivos.
3 + 4 = 7
4 x 3 = 12
5 + 0 = 5
6 x 0 = 0

 

 

> Observem agora os números inteiros

Z = { ...n,...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...n,...}

 

Números inteiros pressupõem soma e multiplicação de números com mesmo sinal e com sinais diferentes.
3 + 4 = 7

-3 + 4 = 1

3 + (-4) = -1

4 x 3 = 12

-4 x 3 = -12

5 x 0 = 0

-5 x 0 = 0

 

Números inteiros pressupõem subtração com minuendo menor que subtraendo.

3 – 4 = -1

 

Tanto números naturais como inteiros pressupõem multiplicação.

Exercício-modelo 4

 

Se utilizarmos o conjunto de números inteiros, a frase abaixo tem sentido?

 

- Numa noite em São Joaquim, a temperatura caiu de 2ºC para -5ºC, isto é, caiu 7ºC.

 

Prove que esta frase tem sentido matemático.

 

               Ver gabarito em Ex-Painel 4.

 

                  Retornar à área de testes.

REV_250114