Painel 6 - Adição e subtração em Z

Você já aprendeu a trabalhar com a reta dos números inteiros. Vamos agora fazer as operações usando alguns métodos que facilitarão seus cálculos.  Tenha em mente o seguinte: quando trabalhamos com números inteiros, DEVEMOS SEMPRE PRESTAR ATENÇÃO AOS SINAIS. 

Tópico 1 - Método de caminho pela reta para adição e subtração

Observe o problema abaixo e acompanhe a resolução. Você vai aprender intuitivamente a usar o método da cruz.

Vamos somar (-9) mais (-4).

 

 

... -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... + 

________________________________________

 

Operação na reta dos números inteiros.

Primeiro: Você partiu de 0 e “caminhou”até - 9, pois a parcela negativa (-9) tem o módulo ou valor absoluto maior que a parcela positiva (+4).

 

Segundo: De -9 você retroagiu até -5, “caminhando” no sentido positivo 4 unidades, e chegou ao resultado -5.

Vamos fazer um segundo exercício, uma expressão com mais parcelas.

Usando uma reta de números inteiros, resolva a expressão abaixo, “caminhando” pela reta:

 

(-5) + (+9) + (-3) + (+ 4) + (-1) + (+2)

 

Resposta

...-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11...

_________________________________________

 

 

Resolução

Considere o maior módulo.

Caminhe da origem à imagem do maior módulo (+9), que é positivo.

Retire o maior módulo de parcela negativa (-5 ) e retroaja até (+4).

Acrescente a segunda maior parcela positiva (+4) e chegue ao resultado (+8). Acrescente a segunda maior parcela negativa (-3), retroaja até (+5).

 

Acrescente a terceira maior parcela positiva (+2) e chegue ao resultado (+7). Acrescente a terceira menor parcela negativa (-1) e retroaja até o resultado final (+6). 

Tópico 2 - Utilizando o método aritmético ou em cruz para adição e subtração.

Usando o método aritmético, resolva a expressão abaixo:

 

(-8) + (-3) + (+6) + (-5) + (-2) + (-1) + (+4)

 

Crie um formulário com duas colunas, uma para números positivos e outra para números negativos.  Tantas linhas quantas parcelas em maior número mais duas linhas para dispor o resultado de cada coluna.   Tendo chegado ao resultado positivo e ao resultado negativo, processe a subtração e obtenha o resultado final.

 

Resposta

Parcelas positivas

(+)

Parcelas negativas ( - )

6

8

4

3

 

5

 

1

Resultado positivo

Resultado negativo

+ 10

- 17

 

 

Somando-se (+10) + (- 17), temos (-7) como resultado.

 

 

Tópico 3 - Propriedades da adição

Comutação num problema geométrico
Comutação num problema geométrico

1a. Propriedade

Comutativa da adição

 

Considere dois números pertencentes ao conjunto de números inteiros: a e b. Tanto faz somarmos a e b colocando a ordem das parcelas a + b ou b + a, que o resultado será o mesmo.

Exemplo: (-16) + (+5) = (+5) + (-16) = - 11

 

Numa adição de números inteiros, a ordem das parcelas não altera a soma.

 

 

 

 

 

Assim, escrevendo matematicamente:

 

                                   a є Z, b є Z | a + b = b + a

 

 

2a. Propriedade: Existência do elemento neutro

Um elemento neutro é aquele que não altera a operação a ser executada.

 

No caso da adição, a parcela que não altera a adição é o zero. Podemos, portanto, somar zero a qualquer número inteiro que o resultado será o próprio número.

 

            O número zero é o elemento neutro da adição.

  1. (-15) + 0 = - 15

  2. 9 + 0 = 9

 

 

Assim, escrevendo matematicamente:

 

                   є Z | a + 0 = 0 +a = a

 

3a. Propriedade: Propriedade associativa da adição

Numa adição de três ou mais números diferentes, podemos associa-los de qualquer modo, pois, em se tratando de números inteiros, não haverá alteração de soma. Basta nos lembrarmos do método aritmético de resolução de expressões.

Assim, a + b + c = a+ c + b = c + b + a =

= (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b.

 

 

Escrevendo matematicamente, temos:

 

            a є Z, b є Z, c є Z | (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b.

Vamos fazer alguns exercícios para entender melhor o conceito.

Exercício

 

Defina x.

 

  1. 9 + x = 9

  2. x + 0 = 3

  3. (-78) + x = 0

  4. x + (-3) + 45 = 0

  5. Se a + b = c + b, então a = ......

  6. A soma de dois números opostos é igual a ...

 

Resposta:

 

  1. x = 9 – 9 = 0 >>>>Transferiu uma das parcelas e mudou o sinal

  2. x = 3 – 0 = 3 >>>>mesma coisa aqui.

  3. x = 0 + 78 = 78 >>>>>aqui é uma simples identidade: isto é igual àquilo.

  4. x – 3 + 45 = x + 42 = 0  x = - 42

  5. c >>>>qui bastou você fazer uma comparação.

  6. zero  >>>>Claro. Números opostos tem O MESMO módulo.

     

    Simples, não!?

     

    * Toda vez que aparecer um x, você vai chamar de incógnita e descobrir seu valor.  Este é o"x do problema".

Tópico 4 - Subtração de números inteiros.

A subtração é o inverso da adição. Você já aprendeu a “caminhar” pela reta de números inteiros e já aprendeu o método aritmético de resolver expressões separando as parcelas em positivas e negativas e efetuando a operação final entre a parcela positiva e a negativa. Vamos observar mais uma vez e verificar que isto vale tanto para a adição como para a subtração de números inteiros.

 

(-8) + (-3) + (+6) + (-5) + (-2) + (-1) + (+4)

 

Resposta

Parcelas positivas (+)

Parcelas negativas ( - )

6

8

4

3

 

5

 

1

Resultado positivo

Resultado negativo

+ 10

- 17

 

Somando-se (+10) + (- 17), temos:

 

10 –17 = -7.

Vamos observar o uso de sinais.

 

Toda vez que tivermos subtração de dois números inteiros, teremos que:

a – b = a + (-b), ou seja:

 

 

A diferença entre dois números inteiros é calculada adicionando-se o primeiro número o oposto do segundo.

 

Escrevendo matematicamente, temos que:

 

                a є Z, b є Z | (a – b) є Z

 

    Concluímos, portanto, que no conjunto de números inteiros, a operação de subtração é sempre possível.

Vamos fazer alguns exercícios para firmarmos o conceito estudado.

Exercício

  1. Por que a operação de subtração é possível no conjunto de números inteiros e nem sempre é possível no conjunto dos números naturais

  2. Calcule : x + (-3) – (+30) = 48

 

 

 

Respostas:

 

  1. A operação de subtração nem sempre é possível no conjunto dos números naturais, pois o subtraendo tem de ser sempre menor ao minuendo. Já no conjunto dos números inteiros, podemos somar ou subtrair quaisquer números positivos ou negativos.

  2. x – 3 – 30 = 48 .: x = 48 + 3 + 30 logo, x = 81

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