Painel 3 - Propriedades e ampliação dos números naturais

O estudo das propriedades nos permite classificar os diferentes números existentes.  Começaremos pelas propriedades dos números naturais.

Propriedades gerais dos números.

Tópico 1 - Como definimos o universo dos números naturais existentes?

Recapitulando:


Os diferentes conjuntos numéricos
Se pensarmos em todas as possibilidades de números: positivos, negativos, fracionários, números decimais, dízimas periódicas e outros, teremos diferentes conjuntos numéricos com diferentes propriedades.  

Operações possíveis com cada conjunto caracterizam os números.
Os diferentes conjuntos de números são definidos pelas propriedades de incluir determinadas operações – soma, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e operações com números imaginários (complexos).

Os conceitos matemáticos são cumulativos e vivenciados na prática.

Cada parte que você estuda está ligada a outra parte anterior quer você já deve saber.  Para saber os números inteiros, você deverá conhecer os números naturais, e assim por diante.

 

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Tópico 2 - O entendimento da Matemática

Algarismos e operadores matemáticos de teclado de computação_BDWebB
Algarismos e operadores matemáticos de teclado de computação_BDWebB

     A matemática tem um princípio de generalização

Se tivermos um contexto ou problema simples, podemos generalizar os conceitos que ali funcionam para contextos ou problemas maiôs complexos.  Imagine a construção do sistema numérico ou a construção de potências em relação aos números naturais.

 

 

   Resolução de problemas ou equações – Não existe problema sem dados colocados no problema. 

    

    Leia o problema.  Observe o enunciado e entenda:

§         Quais são os dados do problema?

§         Qual o princípio ou a regra que embasa o problema?

§         Qual a equação básica que resolve o problema?

§         Substitua os dados nas incógnitas e processe: você terá a resolução do problema.

Quando estudamos matemática, a primeira coisa a fazer é olhar o mundo e considerar os diferentes tipos de números. Clique na imagem abaixo!

Tópico 3 - Propriedade dos números naturais

O conjunto de números naturais pressupõe duas operações – soma e multiplicação – e, a partir destas operações podemos estabelecer as propriedades dos números naturais na soma:

 

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...}

 

 

 

Quando chamamos de números naturais o conjunto acima é percebemos que este  conjunto tem propriedades comuns:

  • números sempre não negativos;
  • permitindo que somente sejam realizadas as operações de soma e de multiplicação.

 

Iniciaremos pelas propriedades relativas à soma.

 

Princípio de fechamento da adição no conjunto de números naturais

A soma de dois números naturais é sempre um número natural, sendo uma operação fechada em N.

Vamos começar pela primeira propriedade: associativa da adição

Vamos pensar a propriedade associativa na adição

Numa adição temos parcelas que adicionamos.

3 + 4 + 5 = 5 + 4 + 3 = 12

 

Observeè podemos associar as parcelas de qualquer modo, adicionando-as e o resultado será sempre o mesmo. 

 

Este fato não ocorre com a subtração, pois:

5 – 3 ≠ 3 – 5

 

Observe è 5 – 3 = 2 (pertence ao conjunto de números naturais) 

                  e 3 – 5 = - 2

(número negativo, que não pertence ao conjunto de números naturais).

 

Assim, temos a primeira propriedade:

 

A.1  - Associativa da adição:

 

 

(a + b) + c = a + (b + c), para todos a, b, c pertencente a N.

 

Lemos a representação matemática acima do seguinte modo:

 

“A soma de (a + b) + c é igual a + (b + c), para todos os números a, b, c, todos pertencentes ao conjunto de números naturais” è (o que implica) na propriedade associativa da adição."

Tudo na vida é matemática...inclusive design.

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Vamos agora pensar a propriedade comutativa da adição.

BDWebB
BDWebB

Pensando a propriedade comutativa na adição

Numa adição temos parcelas que, ao adicionarmos, são comutativas, ou seja , a ordem das parcelas não altera a soma.

Observem:

 

 

 

A.2  - Comutativa da adição

 

a + b = b + a, para todos a e b pertencente a N

 

 

Lemos:

“A soma de (a + b) é igual (b + a), para todos os números a, b, c, todos pertencentes ao conjunto de números naturais”

è (o que implica) na propriedade comutativa da adição.

...e o zero?

O zero é o elemento neutro na adição

Somando-se zero a qualquer número natural, teremos  o próprio número natural.  Observe:

 

A.3  - Elemento neutro da adição

Vamos pensar o elemento neutro na adição.

a + 0 = a, para todo apertencente a N.

 

 

Lemos:

“A soma de (a + 0) é igual ao número “a”, qualquer que seja “a”,  pertencente ao conjunto de números naturais”

o que implica na propriedade que indica o elemento neutro da adição.

 

Tópico 4 - A Multiplicação e os números naturais

Multiplicando, multiplicador e produto

A operação de multiplicação é uma operação binária onde multiplicamos dois números chamados de fatores: multiplicando e multiplicador. 

Seu resultado é chamado de produto.

   5   multiplicando              

x 3      multiplicador               

15 ..... produto                                                             

Observe que o produto 15 é igual a 5 + 5 + 5 = 15

 

Basicamente a multiplicação é a adição de uma quantidade finita de números iguais.

 

Notação para multiplicação:

5 x 3 = 5 . 3 = 5* 3 = 5 (3)

 

Propriedade associativa da multiplicação

Propriedades da multiplicação no conjunto de números naturais

A segunda operação que diz respeito aos números naturais é a multiplicação.

 

Vamos analisar suas propriedades.

Devemos observar que a operação de multiplicação está fechada ao conjunto de números naturais, uma vez que o produto de dois números naturais resulta noutro número natural, pertence ao conjunto N.

 

Considere o conjunto infinito dos números naturais abaixo:

 

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...}

 

Multiplique quaisquer números naturais e você irá obter outro número natural.

 

 

Propriedade associativa da multiplicação

Observe como agrupamos os fatores_BDWebB
Observe como agrupamos os fatores_BDWebB

M.1  - Associativa da multiplicação

 

 

Observe:

 

(4.6) 2 = 4 (6.2) = 48

(ab) c = a (bc), para todos a, b, c Î N.

 

Lemos:

“A multiplicação de (ab) c é igual a a(bc), qualquer que seja “a, b ou c”,  pertencente ao conjunto de números naturais”,

 

o que implica na propriedade associativa da adição.

 

 

Deste modo:

 

Numa multiplicação podemos multiplicar 3 ou mais fatores de modos diferentes, em ordem diferente, pois obteremos o mesmo resultado.

 

 

Propriedade comutativa da multiplicação

A ordem dos fatores não altera o produto_BDWebB
A ordem dos fatores não altera o produto_BDWebB

M.2  - Comutativa da multiplicação

Vamos pensar a propriedade comutativa na multiplicação

Numa multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto. Observem:

 

3 x 4 = 4 x 3 = 12

ab = ba, para todos a e bÎ N.

 

Lemos:

“A multiplicação de (ab) é igual a (ba), qualquer que seja “a, b”,  pertencente ao conjunto de números naturais”

 

è (o que implica) na propriedade comutativa da adição.

O elemento neutro da multiplicação

Pense nisso!_BDWebB
Pense nisso!_BDWebB

M.3  - Elemento neutro da multiplicação

 

Vamos pensar o elemento neutro na multiplicação.

 

Numa multiplicação, o elemento neutro é sempre 1, pois qualquer número natural multiplicado por 1 é igual ao próprio número.

 

Observem:

 

O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.

5 x 1 = 5

a . 1 = a, para todo o N.

 

Lemos:

“A multiplicação de (a.1) é igual a “a”, qualquer que seja “a”,  pertencente ao conjunto de números naturais”

 

Esta conclusão implica na propriedade do elemento neutro da multiplicação.

 

Propriedade distributiva da multiplicação

Observe as relações enmtre a soma e a multiplicação_BDWebB
Observe as relações enmtre a soma e a multiplicação_BDWebB

D – Distributiva da multiplicação em relação à adição

 

Vamos pensar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:

 

 

Multiplicando um fator por uma soma é o mesmo que multiplicar o fator por cada uma das parcelas da soma, adicionando a seguir os resultados obtidos.

 

Observem:

4 (3 + 2) = 4.3 + 4. 2 = 20

a ( b + c ) = ab + ac, para todos a, b, c Î N.

 

Lemos:

“A multiplicação de um número "a" por uma soma é igual ao número multiplicado pelas diferentes parcelas da soma, qualquer que seja “a”,  pertencente ao conjunto de números naturais”

 

Esta conclusão implica na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Exercício-modelo 3

Analise a tabela abaixo e construa uma tabela de multiplicação.  Você consegue visualizar as multiplicações?

Confira com a tabela abaixo:

E, depois desta aula, que tal um joguinho?

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